当サイトの趣旨とは異なりますが、閃いたのでメモがわりに。
モンティホール問題とは
ざっくり説明すると、
3択問題に解答した後に 回答していない不正解の選択肢を公開される。
その後問題は実質2択となり、再度解答権を与えられる。
最初に選択した解答と違う選択肢を選んだ場合、そのままの時よりも確率が2倍になるというもの。
モンティ・ホール問題 AIによる解説
問題の状況
- 3つのドア（A、B、C）があります。
- 1つのドアの裏には車（当たり）があり、残り2つにはヤギ（外れ）がいます。
- あなたがまず1つのドアを選びます。仮にドアAを選んだとします。
- 司会者が、あなたの選ばなかったドアのうち、ヤギがいる1つを開けます。例えば、ドアBにヤギがいることを司会者が明らかにします。
- ここで、司会者が「選び直しますか？」と聞いてきます。
問題の核心
「このとき、選び直した方が車を当てる確率が高いか？」
答え
「選び直した方が車を当てる確率は高くなります。」
理由の説明
- 最初にドアを選んだ時点では、車の当たり確率は1/3（33.3%）でした。
- つまり、最初に選んだドアが外れている確率は2/3（66.6%）です。
- 司会者が外れのドアを開けたことで、残った2つのドアには2/3の確率が集中します。
- このため、選び直せば2/3の確率で車を当てられるというわけです。
具体例で理解する
- 仮に、ドアCに車があるとしましょう。
- あなたが最初にドアAを選んだとします。司会者は、残りのドアBを開け、そこにヤギがいることを見せます。
- この状況で、選び直せばドアCを選ぶことになります。
- ドアCを選び直すと車を当てる確率が2/3に高まるのです。
まとめ
- 選び直すと当たる確率は2/3、最初のままなら1/3。
- このため、選び直した方が理論上有利です。
モンティ・ホール問題の肝は、最初の選択と司会者の行動によって、条件付き確率が変化する点にあります。
この問題は Marilyn vos Savant というIQ228の世界一IQが高い人間とされる方が提唱して話題になったものです。
これに対して多くの学者達は異を唱えたようなのですが、実際にこの説は正しいことが証明されました。
信じがたいこの説ですが、シミュレーションしてみると本当に確率が倍になっていることが実感できます。
参考：モンティ・ホール問題シミュレーター
確かに確率は倍になっているのだが、解説を見てもイマイチ腑に落ちない感覚の人も少なくないと思います。
自分も不思議に思っていたのですが、なんとなく自分の中でしっくりくる回答が見つかりました。
よくある解説
モンティ・ホール問題を説明する際によく以下のような表を見かけます。
| 選ぶドア | 開かれるドア | 変えた場合の結果 |
|---|---|---|
| A | B | 当たり |
| B | A | 当たり |
| C | A、B | ハズレ |
A B C の３択に対して選択肢を変えた場合、当たりを引く確率が2/3となることがよくわかる表です。
ですが、どうやらこの表に違和感があったようです。
違和感の正体
上の表では最初に選んだドアの3パターンについて説明されています。
が、実際に起こりうるパターンは3パターンでなく4パターンあります。
C(当たり)を選んだ際に開かれるドアがAのパターンとBのパターンの2種類あるからです。
パターン1, Aを選ぶ→Bが開く
パターン2, Bを選ぶ→Aが開く
パターン3, Cを選ぶ→Aが開く
パターン4, Cを選ぶ→Bが開く
ドアが3つなので3パターンに感じますが、実際は4パターンあるのが違和感に繋がっていました。
ピンとくる解説
上記の4パターンに当てはめて問題を考えます。
パターン1, Aを選ぶ→Bが開く→変える→当たり
パターン2, Bを選ぶ→Aが開く→変える→当たり
パターン3, Cを選ぶ→Aが開く→変える→ハズレ
パターン4, Cを選ぶ→Bが開く→変える→ハズレ
という4通りになります。
こうすると確率は五分に見えますが、それぞれの発生確率が異なります。
パターン1≒パターン2≒(パターン3＋パターン4)
それぞれのパターンを確率で表すと
パターン1,当たり (約33.3%)
パターン2,当たり (約33.3%)
パターン3,ハズレ (約16.65%)
パターン4,ハズレ (約16.65%)
当たり66.6% 外れ33.3%となり、当たりを引く確率が二倍になることが証明されました！
最後に
私は数学者ではないのでもしかしたら間違えているかもしれません(保身)。
この問題に対してのモヤモヤを解消できたら幸いです。
もしこのモンティ・ホール問題のような状況になったら、自信を持ってガンガン選択を変えていきましょう！
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